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signal processing

采样定理

核心：采样频率需要是原始信号的带宽的两倍

采样定理的数学描述

假设一个连续时间信号 \(x(t)\) 是带限的，即它的频谱（傅里叶变换）满足： \(X(f)=0,\quad\forall |f|>B\), 其中 \(B\) 是信号的最高频率（带宽），单位是赫兹（Hz）。这种信号称为带限信号。 根据采样定理：

  1. 如果用采样间隔 \(T_s = \frac{1}{2B}\) 或更小的时间间隔对信号 \(x(t)\) 进行采样：\(x[n] = x(nT_s), \quad n \in \mathbb{Z},\) 则可以通过采样值完全重建原信号 \(x(t)\)。
  2. 重建公式是通过奈奎斯特重建公式给出的：

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \, \text{sinc}\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right), $$

其中 \(\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\)

关键条件与解释

  • 带限性：信号 $ x(t) $ 的频谱中没有超过 $ B $ 的频率分量。
  • 采样率要求：采样频率必须满足 $ f_s \geq 2B $，即采样间隔 $ T_s \leq \frac{1}{2B} $。这里的 $ f_s = \frac{1}{T_s} $ 是采样频率，称为奈奎斯特频率。 只有在满足这些条件时，采样信号 $ x[n] $ 可以无损地重建为原信号 $ x(t) $.

重建例子

1.3 重建例子

考虑一个连续时间信号：

\[ x(t) = \cos(10\pi t) \]

这个信号的频率为 \(f = 5\text{ Hz}\)（因为 \(10\pi = 2\pi \cdot 5\)）。根据奈奎斯特采样定理，采样频率应满足：

\[ f_s > 2f = 10\text{ Hz} \]

让我们选择采样频率 \(f_s = 12\text{ Hz}\)，即采样间隔 \(T_s = \frac{1}{12}\text{ s}\)。

1.3.1 采样过程

采样点可以表示为：

\[ x[n] = \cos(10\pi \cdot \frac{n}{12}), \quad n = 0, \pm1, \pm2, \dots \]

1.3.2 重建公式

根据奈奎斯特重建公式，原始信号可以通过以下公式重建：

\[ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot \text{sinc}(\frac{t-nT_s}{T_s}) \]

代入我们的例子：

\[ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \cos(10\pi \cdot \frac{n}{12}) \cdot \text{sinc}(12t-n) \]

1.3.3 重建原理解释

  1. 每个采样点 \(x[n]\) 都通过 sinc 函数进行插值
  2. sinc 函数具有以下性质：
  3. 在采样点处，当前采样点的 sinc 函数值为 1，其他采样点处为 0
  4. 所有采样点的 sinc 函数之和在任意时刻 t 都能重建出原始信号值

1.3.4 验证

可以证明这个重建公式确实能得到原始信号 \(\cos(10\pi t)\)：

  1. 重建信号的频谱被限制在 \([-6\text{ Hz}, 6\text{ Hz}]\) 范围内
  2. 由于原始信号频率为 5 Hz，低于奈奎斯特频率 6 Hz
  3. 因此重建信号与原始信号完全相同

1.3.5 推导过程

让我们证明重建公式 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} \cos(10\pi \cdot \frac{n}{12}) \cdot \text{sinc}(12t-n)\) 等于 \(\cos(10\pi t)\)：

  1. 频域分析

  2. 原始信号 \(\cos(10\pi t)\) 的频谱包含两个冲激函数：

    $$ X(f) = \frac{1}{2}[\delta(f-5) + \delta(f+5)] $$

  3. 采样信号频谱

  4. 采样后的信号频谱是原始频谱的周期延拓，周期为采样频率 \(f_s = 12\text{ Hz}\)：

$$X_s(f) = \frac{1}{12}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}[\delta(f-5-12k) + \delta(f+5-12k)] $$

  1. 重建滤波器
  2. sinc 函数的傅里叶变换是矩形窗：

$$ \mathcal{F}{\text{sinc}(12t)} = \text{rect}(\frac{f}{12}) $$

  • 这个理想低通滤波器在 \([-6\text{ Hz}, 6\text{ Hz}]\) 范围内为 1，其他频率为 0

  • 频域重建过程

  • 重建过程等价于采样信号与理想低通滤波器相乘：

    $$ X_r(f) = X_s(f) \cdot \text{rect}(\frac{f}{12}) $$

  • 由于原始信号频率（5 Hz）小于奈奎斯特频率（6 Hz），只有 \(k=0\) 的频谱分量会被保留：

    $$ X_r(f) = \frac{1}{2}[\delta(f-5) + \delta(f+5)] $$

  • 时域结果

  • 对 \(X_r(f)\) 进行逆傅里叶变换，得到：

    $$ x_r(t) = \cos(10\pi t) $$

因此，我们证明了重建公式确实能完美重建原始信号 \(\cos(10\pi t)\)。这个推导过程也说明了为什么采样频率必须大于信号频率的两倍：只有这样，采样后的频谱周期延拓才不会发生混叠。

2. 频谱混叠

狄拉克函数与狄拉克梳状函数的特性

1. 狄拉克函数（Dirac Delta Function）

定义
  • 狄拉克函数 \(\delta(t)\) 是一个理想化的脉冲函数，用于描述时间 \(t=0\) 时的无限窄和无限高的信号。 alt text
  • 满足以下性质：

$$ \int_{-\infty}^\infty \delta(t) \, dt = 1 $$

对任意函数 \(x(t)\)，有：

$$ \int_{-\infty}^\infty x(t) \delta(t - t_0) \, dt = x(t_0) $$

特性
  1. 集中性：\(\delta(t) = 0\) 当 \(t \neq 0\)。
  2. 单位化：\(\int_{-\infty}^\infty \delta(t) \, dt = 1\)。
  3. 对称性：\(\delta(-t) = \delta(t)\)。
  4. 缩放性：\(\delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta(t)\)。
  5. 卷积特性：
  6. 与任意函数卷积：\((x * \delta)(t) = x(t)\)。
  7. 与位移的狄拉克函数卷积：\((x * \delta(t - t_0))(t) = x(t - t_0)\)。

2. 狄拉克梳状函数（Dirac Comb Function）

狄拉克梳状函数定义
  • 狄拉克梳状函数 \(\mathrm{III}(t)\) 是一列等间隔的狄拉克函数组成的周期性脉冲列： 狄拉克梳状函数

$$ \mathrm{III}(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t - nT) $$

其中 \(T\) 是脉冲间隔。

狄拉克梳状函数的特性
  1. 周期性：\(\mathrm{III}(t)\) 是周期为 \(T\) 的函数。
  2. 频域关系：

  3. 傅里叶变换仍是一个狄拉克梳状函数，频率间隔为 \(\frac{1}{T}\)：

    $$ \mathcal{F}{\mathrm{III}(t)} = \frac{1}{T} \mathrm{III}\left(\frac{f}{T}\right) $$

  4. 卷积特性：

  5. 与任意函数卷积：\((x * \mathrm{III})(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(t - nT)\)。
  6. 与自身卷积：\(\mathrm{III}(t) * \mathrm{III}(t) = \mathrm{III}(t)\)。

3. 狄拉克函数与信号采样

采样过程
  • 连续信号 \(x(t)\) 的采样可表示为与狄拉克梳状函数的乘积：

$$ x_s(t) = x(t) \cdot \mathrm{III}(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(nT) \delta(t - nT) $$

其中 \(T\) 是采样间隔。 alt text

频域特性
  • 采样的频谱是原信号频谱的周期性延拓：

$$ X_s(f) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^\infty X(f - kf_s) $$

其中 \(f_s = \frac{1}{T}\) 是采样频率。 信号频谱 alt text 采样型号频谱 alt text

4. 总结

特性 狄拉克函数 狄拉克梳状函数
定义 理想化的脉冲，只有 \(t=0\) 时非零 周期性脉冲列，由多个狄拉克函数组成
数学表示 \(\delta(t)\) \(\mathrm{III}(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t - nT)\)
卷积特性 保持函数原样或平移 生成信号的周期性重复
频域关系 与任意函数卷积保持频谱不变 频谱延拓或周期性重复
采样中的作用 提取连续信号的离散值 表示采样过程及频谱延拓

3. 滤波器

滤波器是一种对信号进行频率选择性处理的系统，可以让某些频率成分通过，同时抑制或阻止其他频率成分。

3.1 基本概念

3.1.1 频率响应

滤波器的频率响应 \(H(f)\) 描述了滤波器对不同频率分量的处理方式：

  • 幅频响应 \(|H(f)|\)：表示对不同频率分量的增益或衰减
  • 相频响应 \(\angle H(f)\)：表示对不同频率分量的相位变化

3.1.2 重要参数

  • 截止频率（Cutoff Frequency）：滤波器的幅频响应下降到 -3dB 处的频率
  • 通带（Passband）：信号几乎无衰减通过的频率范围
  • 阻带（Stopband）：信号被显著衰减的频率范围
  • 过渡带（Transition Band）：通带和阻带之间的过渡区域
  • 阻带衰减（Stopband Attenuation）：在阻带中的最小衰减量

3.2 滤波器类型

3.2.1 低通滤波器（Low-Pass Filter）

  • 功能：允许低频信号通过，衰减高频信号
  • 应用：去除高频噪声，平滑信号
  • 频率响应：

$$ H(f) = \begin{cases} 1, & |f| \leq f_c \ 0, & |f| > f_c \end{cases} $$

3.2.2 高通滤波器（High-Pass Filter）

  • 功能：允许高频信号通过，衰减低频信号
  • 应用：去除直流分量，突出信号的快速变化
  • 频率响应：

$$ H(f) = \begin{cases} 0, & |f| \leq f_c \ 1, & |f| > f_c \end{cases} $$

3.2.3 带通滤波器（Band-Pass Filter）

  • 功能：只允许特定频率范围内的信号通过
  • 应用：提取特定频段的信号，如音频处理
  • 频率响应：

$$ H(f) = \begin{cases} 1, & f_1 \leq |f| \leq f_2 \ 0, & \text{其他} \end{cases} $$

3.2.4 带阻滤波器（Band-Stop Filter）

  • 功能：阻止特定频率范围内的信号通过
  • 应用：去除特定频率的干扰，如工频干扰
  • 频率响应：

$$ H(f) = \begin{cases} 0, & f_1 \leq |f| \leq f_2 \ 1, & \text{其他} \end{cases} $$

3.3 滤波器特性

3.3.1 理想滤波器与实际滤波器

  • 理想滤波器：频率响应在通带和阻带之间有突变，无过渡带
  • 实际滤波器：
  • 存在过渡带
  • 通带有波纹
  • 阻带衰减有限
  • 相位响应非线性

3.3.2 常见滤波器类型

  1. 巴特沃斯滤波器：
  2. 特点：通带最平坦，相位响应较好

  3. 缺点：过渡带较宽

  4. 切比雪夫滤波器：

  5. 特点：过渡带较窄

  6. 缺点：通带有波纹

  7. 椭圆滤波器：

  8. 特点：最陡峭的过渡带
  9. 缺点：通带和阻带都有波纹

3.4 滤波器的应用

3.4.1 信号处理中的应用

  1. 噪声去除：使用低通滤波器去除高频噪声
  2. 信号分离：使用带通滤波器提取特定频段的信号
  3. 干扰消除：使用带阻滤波器去除特定频率的干扰
  4. 信号重建：使用理想低通滤波器进行信号重建

3.4.2 实际应用举例

  1. 音频处理：均衡器使用多个带通滤波器
  2. 通信系统：信道选择使用带通滤波器
  3. 生物医学：心电信号处理使用带阻滤波器去除工频干扰

4. idea upsampling

在数字信号处理（DSP）中，理想升采样指的是将一个离散信号从原采样率 \(F_s\) 无失真地变换到更高采样率 \(L \times F_s\) 的理论过程。它通常包含两步：插零（Zero-stuffing） 和 理想低通滤波（Ideal LPF）。下面从多个角度进行阐述。

4.1. 基本概念

  1. 插零（Zero-stuffing） 在时域上将原信号 \(x[n]\) 的每个采样之间插入 \(L-1\) 个零，得到新序列 \(x_{\uparrow L}[n]\)。形式上可写为：

$$ x_{\uparrow L}[m] = \begin{cases} x\bigl(\tfrac{m}{L}\bigr), & \text{当 } m \text{ 为 } L \text{ 的整数倍} \ 0, & \text{否则} \end{cases} $$

  1. 理想低通滤波（Ideal LPF） 对插零后的信号进行理想低通滤波（带宽为 \(\pi/L\)），即使用理想矩形频率响应滤波器 \(H_{\text{ideal}}(e^{j\omega})\)。它在 \(|\omega|\le \pi/L\) 上为 1，其他区间为 0。此过程可滤除插零导致的“镜像频谱”成分。

4.2. 频域分析

  1. 原信号的频谱 设原信号 \(x[n]\) 的离散时间傅里叶变换为 \(X(e^{j\omega})\)，且它带限于某个 \(\omega_0 \le \pi\)。

  2. 插零后频谱的复制 插零操作会在频域产生周期性复制：新信号 \(x_{\uparrow L}[n]\) 的频谱在 \([-\pi,\pi]\) 内出现多个等距“镜像（image）”副本，每个副本宽度为原带宽的 \(1/L\)。

解释 在定义了 插零后序列 \(x_{\uparrow L}[n]\) 之后，我们可写出它的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 如下：

$$ \begin{aligned} X_{\uparrow L}(e^{j\omega}) &=\; \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{\uparrow L}[n]\;e^{-j\,\omega\,n} \,=\, \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Bigl[\underbrace{x_{\uparrow L}[n]}{\text{仅当 }n=Lm\text{时非零}}\Bigr] e^{-j\,\omega\,n}.\ &=\; \sum{m=-\infty}^{\infty} \Bigl[x_{\uparrow L}\bigl(L\,m\bigr)\Bigr]\; e^{-j\,\omega\,(L\,m)}. \end{aligned} $$

由于 \(x_{\uparrow L}[\,L\,m\,] = x[m]\)，上式继续化简得到：

$$ X_{\uparrow L}(e^{j\omega}) =\; \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]\;e^{-j\,(\omega\,L)\,m}. $$

如果将 \(\omega\,L\) 视为新的频率变量 \(\Theta\)，则可识别为原信号 \(x[n]\) 的 DTFT：

$$ X_{\uparrow L}(e^{j\omega}) =\; X\bigl(e^{\,j(\omega\,L)}\bigr). $$

在 \(\omega\) 的一个 \(2\pi\) 周期范围内，\(X_{\uparrow L}(e^{j\omega})\) 会出现多次重复（镜像）分量。

  1. 理想滤波器保留主瓣 理想低通滤波器 \(H_{\text{ideal}}(e^{j\omega})\) 在 \(|\omega|\le \pi/L\) 内为 1，超出此范围为 0，仅保留最中心的那段原始频谱副本，其余镜像分量被滤除。

4.3. 时域结果

滤波后的输出信号可写为

\[ y[n] = \bigl[x_{\uparrow L} * h_{\text{ideal}}\bigr](n), \]

其中 \(h_{\text{ideal}}[n]\) 为理想低通滤波器的冲激响应（离散版 \(\mathrm{sinc}\) 函数）。若滤波器可理想实现，则输出 \(y[n]\) 与原信号在更高采样率下一一对应，达到“完美插值”的效果。

4.4. 实际实现的差异

  • 无限长滤波器的难题 理想低通滤波器在时域中对应无限长的 \(\mathrm{sinc}\)，现实中难以实现。

  • FIR 滤波器近似 工程上使用有限长度的 FIR（或 IIR）滤波器来逼近理想低通滤波器，需要在过渡带与阻带衰减等方面做权衡。

4.5. 结论

  1. 理想升采样的本质 先进行“插零”，再用理想低通滤波器抑制镜像频谱，仅保留原始带限信息。

  2. 意义 在更高采样率下，实现理论上“无失真”的信号插值与重采样。

  3. 工程折中 由于真正的理想滤波器无法实现，实际只能做“尽可能好”的插值滤波，得到较好的近似结果。

    一句话概括：理想升采样 = “插零” + “理想低通”，使得在更高采样率下保持原带限信号的所有频谱信息而不失真。

  4. “信号不变”与“频率压缩”并不矛盾 物理上/连续域看，“同一个信号”并没有真正被篡改；若真的增加采样率，信号本身在波形上也是光滑地插值。 离散-数学上看，“上采样”就意味着插入零(或通过插值滤波器让新样本并非全是零)，导致“序列索引”加密；由此在离散频率坐标( \(\omega\)上会看到频谱压缩和镜像的现象。 关键是：“离散角频率 \(\omega\)不是直接等同于物理频率(Hz)，而是相对‘每个采样点’的归一化频率。

当你改变“每个采样点间的实际时间间隔”，就会在 \(\omega\)轴上看到带宽发生变化(变得更小或更大)。但是“物理信号”并未必产生失真，只是它的离散索引刻度发生了伸缩。 在“理想上采样”中，为什么要配合滤波器？ 仅插零不够：会在频域产生镜像分量（image/alias）。 理想上采样 = “插零 + 理想低通滤波(带宽 \(\pi/L\)”，从而滤除除主带外的那些镜像频谱。 这样得到的输出在新的采样率下仍然只保留原先的带宽信息，但对应于离散角频率\(\omega\)，它就压缩到了 \(- \pi/L, + \pi/L\) 以内。 此时你会看到，频谱也不会“变大”，而是保持原带宽” —— 只是量纲从“频率/采样点”变成新的更密集采样下的“频率/采样点”。这就是“在离散域出现了频率压缩”。

5. 下采样（Downsampling）

下采样（也称“降采样”或“抽取”）指在数字信号处理中，将离散信号的采样率从原先的 \(F_s\) 降低到 \(\tfrac{F_s}{M}\)（\(M\) 为降采样因子），从而减少采样点数。设原序列为 \(x[n]\)，则下采样后的序列为

\[ y[m] \;=\; x[m\,M]. \]

5.1. 时域描述

  • 操作：每间隔 \(M\) 个索引取一个样本，其余样本被舍弃。
  • 示例：如果 \(M = 2\)，则

$$ y[0] = x[0], \quad y[1] = x[2], \quad y[2] = x[4], \dots $$

5.2. 频域影响：混叠(Aliasing)

在离散时间傅里叶变换(DTFT)视角，下采样会产生混叠(aliasing)。 常见结论是：

\[ Y(e^{j\Omega}) \;=\; \frac{1}{M}\, \sum_{k=0}^{M-1} X\!\Bigl(e^{\,j\,\tfrac{\Omega + 2\pi k}{M}}\Bigr), \]

其中 \(X(e^{j\omega})\) 和 \(Y(e^{j\Omega})\) 分别为 \(x[n]\) 和 \(y[m]\) 的 DTFT。该公式表明，新序列的频谱是原序列频谱的多个平移/折叠副本相加在一起，这就是混叠的本质。

5.3. 需要先低通滤波 (抗混叠滤波，Anti-Aliasing Filter)

  1. 目的
  2. 若信号原本包含高于新的奈奎斯特频率 \(\tfrac{\pi}{M}\)（相对于旧采样率计）的成分，则在下采样后会出现重叠混叠。
  3. 解决方案
  4. 在下采样前用低通滤波器滤除超出 \(\tfrac{\pi}{M}\) 的高频分量，避免这些频率分量在新采样率下产生混叠失真。
  5. 实现
  6. 实际中常用有限冲激响应(FIR)低通滤波器或 IIR 滤波器进行处理，然后再每隔 \(M\) 点取样。

5.4. 应用场景

  • 多速率数字信号处理：在滤波器组、子带编码等中，通过降采样减少数据速率，降低运算量。
  • 音频/图像转码：从更高采样率转到更低采样率；例如音频从 48 kHz 降到 16 kHz，必须先滤除 8 kHz 以上的频率成分。
  • 小波变换：将信号分解为不同分辨率子带后，对每个子带做抽取以减少冗余。

5.5 离散表述和连续表述的关系

下采样频谱分析：离散表述 vs. 连续表述

在数字信号处理里，常见“下采样(Downsampling)”操作是将采样率降低到原来的 1/M。下采样前后，信号在离散域与连续域会有不同的频谱表述，但它们本质上表达的是同一个混叠(aliasing)原理。以下分别做简要说明。

5.5.1. 离散表述：带宽 < π/M

  • 离散时间中，下采样因子为 M 时，若要避免混叠，需要信号在 离散角频率 ω 上满足

$$ \text{(带宽)} \;<\; \frac{\pi}{M} \quad (\text{rad/sample}). $$

  • 在离散傅里叶变换(DTFT)中，ω 取值范围通常是 [-π, π]，对应一个完整的 2π-周期。若原信号带宽超过 π/M，下采样后会出现多个平移副本互相重叠，引发混叠。

5.5.2. 连续表述：带宽 < F/(2M)

  • 连续时间中，如果原先采样率是 F (Hz)，下采样因子 M 会使 新采样率 变为 F' = F/M。
  • 根据采样定理(Nyquist-Shannon)，要避免混叠，需要带宽 B 小于新奈奎斯特频率 (F/M)/2，即

$$ B \;<\; \frac{F}{2\,M} \quad (\text{Hz}). $$

  • 当带宽超过 F/(2M) 时，在新的采样率下必然会产生 aliasing（别名失真）。

5.5.3. 二者一致性

  • 离散域里 “带宽 < π/M (rad/sample)”
  • 连续域里 “带宽 < F/(2M) (Hz)”

二者看似不同，但本质是同一个条件，因为离散角频率 ω = π 相当于物理频率 F/2 (Nyquist 频率)。换言之：

\[ \omega = \pi \;\;\longleftrightarrow\;\; f = \frac{F}{2}. \]

因此，

\[ \omega < \frac{\pi}{M} \quad\longleftrightarrow\quad f < \frac{F}{2\,M}. \]

这就是为什么在离散公式和连续公式中，阈值看起来不同但含义相同。

5.5.4. 下采样在连续域的频谱公式

在连续域，用冲激列(Dirac comb) 表示采样，周期从 T = 1/F 增大到 M·T 时，频域表现为 原信号谱的多个平移并相加：

\[ Y_{\mathrm{sample}}(\omega) \;=\; \frac{1}{M\,T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\!\Bigl(\omega - 2\pi\,\tfrac{k}{M\,T}\Bigr). \]
  • 这里，X(ω) 是 x(t) 的傅里叶变换，Y_sample(ω) 则是下采样后信号的频谱。
  • 若带宽超过 1/(2M·T) = F/(2M)，这些副本在频域里发生重叠，导致混叠。

5. 小结

  1. 离散 vs. 连续
  2. 离散时间傅里叶变换(DTFT)以 ω (rad/sample) 为轴，完整周期是 2π；

  3. 连续傅里叶变换(CFT)以 ω (rad/s) 或 f (Hz) 为轴，可能有无穷宽度，但采样后出现频谱周期复制。

  4. 避免混叠的带宽限制

  5. 离散域：ω_band < π/M；

  6. 连续域：B < F/(2M)。 这二者相互对应：“ω = π” ↔ “f = F/2”，实则同一个Nyquist限制。

  7. 下采样前常用低通滤波

  8. 实际系统中，为了满足上述带宽限制，往往在下采样之前先做低通滤波 (抗混叠滤波器)，将信号带宽约束到 (F/2M) 以内。

一句话总结：在离散表述与连续表述下，避免混叠的条件之所以看起来有两个不同的阈值(“< π/M” vs. “< F/(2M)”)，只是频率单位变化的缘故，本质上是同一个频率带宽限制。

references

  1. 频谱混叠
  2. 视频教程采样
  3. 二维插值定理