1. 傅里叶变化

1.1 傅里叶变换和逆变换公式

1.1.1 连续傅里叶变换 (Continuous Fourier Transform)

• 公式： \(X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2\pi f t} \, dt\)

其中： - \(x(t)\)：时域信号。 - \(X(f)\)：频域信号（频谱）。 - \(f\)：频率，单位为赫兹 (Hz)。

1.1.2 连续傅里叶逆变换 (Inverse Continuous Fourier Transform)

• 公式： \(x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2\pi f t} \, df\)

其中： - \(X(f)\)：频域信号。 - \(x(t)\)：重建回来的时域信号。

1.1.3 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT)

对于离散信号 \(x[n]\)： - 公式： \(X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{N} kn}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, N-1\)

其中： - \(x[n]\)：时域离散信号。 - \(X[k]\)：频域离散信号。

1.1.4 离散傅里叶逆变换 (Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)

• 公式： \(x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j \frac{2\pi}{N} kn}, \quad n = 0, 1, 2, \dots, N-1\)

其中： - \(X[k]\)：频域离散信号。 - \(x[n]\)：重建回来的时域信号。

1.2 公式中的关键点

1.2.1 正负号区别：

• 傅里叶变换中，指数部分为 \(e^{-j 2\pi f t}\)（正弦和余弦分量）。
• 逆变换中，指数部分为 \(e^{j 2\pi f t}\)（相位相反）。

1.2.2 连续 vs 离散：

• 连续变换涉及积分（时域到频域，或频域到时域）。
• 离散变换涉及求和（用于离散信号处理）。

1.2.3 归一化系数：

• 对于连续傅里叶变换，不需要显式归一化系数。
• 对于离散傅里叶逆变换，需要除以信号长度 \(N\)。

1.3 示例

1.3.1 连续信号示例

时域信号：\(x(t) = \cos(2\pi f_0 t)\)

• 傅里叶变换： \(X(f) = \frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)]\)

• 逆变换： \(x(t) = \int_{-\infty}^\infty \left[\frac{1}{2}\delta(f - f_0) + \frac{1}{2}\delta(f + f_0)\right] e^{j 2\pi f t} \, df\) 得到 \(x(t) = \cos(2\pi f_0 t)\)。

1.3.2 离散信号示例

时域信号：\(x[n] = [1, 2, 3, 4]\)

• 傅里叶变换： 使用离散傅里叶变换公式计算 \(X[k]\)。

• 逆变换： 使用逆变换公式计算 \(x[n]\)，重建信号。

1.4 离散信号做傅里叶变换的例子

1.4.1 离散信号

假设一个长度为 \(N=4\) 的离散信号：

\[ x[n] = [1, 2, 3, 4], \quad n = 0, 1, 2, 3 \]

我们用离散傅里叶变换 (DFT) 的公式计算其频域信号 \(X[k]\)。

1.4.2 DFT 公式

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{N} kn}, \quad k = 0, 1, \dots, N-1 \]

1.4.3 计算步骤

1. 信号长度 \(N=4\)，频率索引 \(k = 0, 1, 2, 3\)。

2. 指数项：\(e^{-j \frac{2\pi}{N} kn} = e^{-j \frac{\pi}{2} kn}\)。

3. 分别计算 \(k = 0, 1, 2, 3\) 时的 \(X[k]\)：

1.4.4 k = 0

\[ X[0] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{4} \cdot 0 \cdot n} = x[0] + x[1] + x[2] + x[3] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \]

1.4.5 k = 1

\[ X[1] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-j \frac{\pi}{2} n} = x[0] + x[1] e^{-j \frac{\pi}{2}} + x[2] e^{-j \pi} + x[3] e^{-j \frac{3\pi}{2}} \]

计算每一项:

• \(x[0] = 1\)
• \(x[1] e^{-j \frac{\pi}{2}} = 2 \cdot (-j) = -2j\)
• \(x[2] e^{-j \pi} = 3 \cdot (-1) = -3\)
• \(x[3] e^{-j \frac{3\pi}{2}} = 4 \cdot j = 4j\)

相加：

\[ X[1] = 1 - 2\cdot j - 3 + 4\cdot j = -2 + 2\cdot j \]

1.4.6 k = 2

\[ X[2] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-j \pi n} = x[0] + x[1] e^{-j \pi} + x[2] e^{-j 2\pi} + x[3] e^{-j 3\pi} \]

计算每一项：

• \(x[0] = 1\)
• \(x[1] e^{-j \pi} = 2 \cdot (-1) = -2\)
• \(x[2] e^{-j 2\pi} = 3 \cdot 1 = 3\)
• \(x[3] e^{-j 3\pi} = 4 \cdot (-1) = -4\)

相加：

\[ X[2] = 1 - 2 + 3 - 4 = -2 \]

1.4.7 k = 3

\[ X[3] = \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-j \frac{3\pi}{2} n} = x[0] + x[1] e^{-j \frac{3\pi}{2}} + x[2] e^{-j 3\pi} + x[3] e^{-j \frac{9\pi}{2}} \]

计算每一项：

• \(x[0] = 1\)
• \(x[1] e^{-j \frac{3\pi}{2}} = 2 \cdot j = 2j\)
• \(x[2] e^{-j 3\pi} = 3 \cdot (-1) = -3\)
• \(x[3] e^{-j \frac{9\pi}{2}} = 4 \cdot (-j) = -4j\)

相加:

\[ X[3] = 1 + 2j - 3 - 4j = -2 - 2j \]

1.5 结果汇总

频域信号 \(X[k]\) 为：

\[ X[k] = [10, -2 + 2j, -2, -2 - 2j] \]

1.6 解释

1. \(X[0] = 10\)：直流分量，表示信号的平均值。
2. 其余 \(X[k]\)：表示信号的其他频率分量，包括振幅和相位。

1.7 可视化频谱

1. 幅值 \(|X[k]|\)：

$$ |X[0]| = 10, \quad |X[1]| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8}, \quad |X[2]| = 2, \quad |X[3]| = \sqrt{8} $$

1. 相位 \(\text{arg}(X[k])\)：

$$ \text{arg}(X[1]) = \arctan\left(\frac{2}{-2}\right) = \frac{3\pi}{4}, \quad \text{arg}(X[3]) = \arctan\left(\frac{-2}{-2}\right) = -\frac{3\pi}{4} $$

1.8 傅里叶变换后的系数代表的性质

1.8.1 幅值（Magnitude）

幅值 \(|X(f)|\) 或 \(|X[k]|\) 表示信号在某个频率上的强度或能量分布。

• 较大的幅值意味着信号在该频率上具有较强的成分。
• 较小的幅值意味着该频率上的成分较弱，甚至可以忽略。

示例： - 如果信号主要是一个频率为 \(f_0\) 的正弦波，其频谱在 \(f = f_0\) 和 \(f = -f_0\) 处有峰值。 - 多个频率成分的信号在对应频率位置会出现多个峰值。

1.8.2 相位（Phase）

相位 \(\text{arg}(X(f))\) 或 \(\text{arg}(X[k])\) 表示信号在对应频率上的相位偏移。

• 相位决定了该频率成分的正弦波（或余弦波）在时间上的偏移。
• 改变相位会改变信号的时域表现，但不会影响其能量。

示例： - 如果信号的相位为零，频率成分与时间轴对齐。 - 非零相位表示该频率成分的时间偏移量。

1.8.3 直流分量（DC Component）

当频率 \(f = 0\) 或 \(k = 0\) 时的系数 \(X(0)\) 或 \(X[0]\) 表示信号的平均值，称为直流分量。

• 如果信号的平均值为零（例如纯交流信号），直流分量为零。
• 如果信号有非零平均值，则 \(X[0]\) 对应该值。

1.8.4 频率分量

每个傅里叶系数 \(X(f)\) 或 \(X[k]\) 对应于信号在某个特定频率上的贡献。

• 连续傅里叶变换中的 \(X(f)\)：对应连续频率 \(f\)。
• 离散傅里叶变换中的 \(X[k]\)：对应离散频率 \(k \cdot f_s / N\)，其中 \(f_s\) 是采样频率，\(N\) 是信号长度。

1.8.5 能量和功率

通过帕塞瓦尔定理，傅里叶变换的系数可以用来计算信号的总能量或功率：

• 连续信号的能量：

$$ E = \int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 df $$

• 离散信号的能量：

$$ E = \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2 $$

1.8.6 对称性

如果信号是实值信号（例如音频信号）： - 频谱关于零频对称：

$$ X(-f) = \overline{X(f)} \quad \text{（共轭对称）} $$

对于离散信号：

$$ X[N-k] = \overline{X[k]} $$

如果信号是偶函数或奇函数，频谱也会表现出对称性或反对称性。

1.8.7 频域分辨率

傅里叶系数的数量和间隔取决于信号的采样率和长度： - 信号长度越长，频域分辨率越高（频率间隔越小）。 - 如果信号是周期信号，其频谱会表现为离散的峰值。

1.9 总结

傅里叶变换后的系数主要描述信号的以下性质： 1. 频率成分的强度（幅值）。 2. 频率成分的时间偏移（相位）。 3. 信号的直流分量（零频分量）。 4. 信号的频率分布和能量分布。

这些性质共同定义了信号在频域中的表现，是信号分析和处理的基础。

1.10 角频率与频率

1.10.1 频率（Frequency）

• 定义：频率表示信号每秒完成振荡的次数，通常用符号 \(f\) 表示。
• 单位：赫兹 (Hz)，即每秒振荡的周期数。
• 公式：

$$ f = \frac{1}{T} $$

其中 \(T\) 是信号的周期，表示完成一次完整振荡所需的时间。

示例： - 一个信号每秒振荡 50 次，其频率为 \(f = 50 \, \text{Hz}\)。 - 电网交流电的频率通常为 \(50 \, \text{Hz}\) 或 \(60 \, \text{Hz}\)。

1.10.2 角频率（Angular Frequency）

• 定义：角频率表示信号每秒转过的弧度数，通常用符号 \(\omega\) 表示。
• 单位：弧度每秒 (rad/s)。
• 公式：

$$ \omega = 2\pi f $$

其中 \(2\pi\) 表示一个完整的圆（对应信号完成一个周期）。

角频率的物理意义： - 一个周期内，信号的相位变化为 \(2\pi\) 弧度（对应完整的一个波形）。 - 角频率是频率的另一种表示方式，更适合描述正弦波中的振荡特性。

1.10.3 频率与角频率的区别与联系

• 频率 \(f\) 描述的是信号在单位时间内的周期数（次/秒）。
• 角频率 \(\omega\) 描述的是信号在单位时间内的相位变化量（弧度/秒）。
• 它们之间的关系为：

$$ \omega = 2\pi f \quad \text{或} \quad f = \frac{\omega}{2\pi} $$

1.10.4 正弦波中的使用

在正弦波中： - 使用角频率的表达：

$$ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $$

其中： - \(\omega\) 是角频率（弧度/秒）。 - \(A\) 是振幅。 - \(\phi\) 是初始相位。

• 使用频率的表达：

$$ x(t) = A \cos(2\pi f t + \phi) $$

注意： - 角频率在正弦信号的数学分析中更为常用。 - 频率用于描述信号的周期性和计数特性。

1.10.5 示例对比

假设一个信号的频率为 \(f = 10 \, \text{Hz}\)： - 周期：

$$ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{10} = 0.1 \, \text{秒} $$

• 角频率：

$$ \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 10 \approx 62.8 \, \text{rad/s} $$

这意味着每秒完成 10 个周期，同时每秒相位变化约为 \(62.8 \, \text{弧度}\)。

1.10.6 信号频谱图

点击链接查看信号频谱介绍 纵轴表示幅度，横轴表示角评率，忽略了相位信息。

1.10.7 总结

特性	频率 \(f\)	角频率 \(\omega\)
单位	赫兹 (Hz)	弧度每秒 (rad/s)
描述	每秒的周期数	每秒的相位变化量
关系	\(f = \frac{\omega}{2\pi}\)	\(\omega = 2\pi f\)
应用场景	周期性信号的描述	正弦波和动态系统的数学表达

2. 周期信号和非周期信号的频谱

2.1 周期信号与非周期信号的频谱

2.1.1 基本概念

• 周期信号的频谱是离散的，由基频及其整数倍（谐波）组成。 周期信号可以用傅里叶级数表示为：

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{j 2\pi n f_0 t} $$

其中 \(f_0 = 1/T\) 是基频，\(c_n\) 是傅里叶系数。

• 非周期信号的频谱是连续的，不能仅用基频及其整数倍的频率来表示。 非周期信号通常通过傅里叶变换得到频谱：

$$ X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j 2\pi f t} dt $$

它在整个频率轴上是连续分布的。

2.2 信号重建分析

2.2.1 完全重建

• 周期信号可以完全用基频及其整数倍的频率分量来表示。
• 非周期信号则不能完全重建，因为它的频谱是连续的，频率成分不局限于离散点。

2.2.2 近似重建

尽管非周期信号无法完全用离散频率成分来重建，但可以用有限个离散频率成分来近似重建，即：

\[ x(t) \approx \sum_{n=-N}^N c_n e^{j 2\pi n f_0 t} \]

当选取的频率点（\(N\) 较大）足够多时，可以近似模拟信号的主要特性，但这种方法有以下限制： - 模拟的结果是有限精度的。 - 对高频分量较丰富的信号，近似需要更多的频率点。

2.3 示例分析

2.3.1 周期信号示例

设 \(x(t) = \cos(2\pi f_0 t)\) 是一个周期信号，其频谱为：

\[ X(f) = \frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] \]

显然可以用基频 \(f_0\) 的离散频率分量表示，无需额外频率。

2.3.2 非周期信号示例（矩形脉冲）

设 \(x(t)\) 是一个宽度为 \(T\) 的矩形脉冲：

\[ x(t) = \begin{cases} 1, & -T/2 \leq t \leq T/2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]

其频谱为：

\[ X(f) = T \cdot \text{sinc}(fT) \]

\(\text{sinc}(fT)\) 是一个连续函数，覆盖所有频率，不能完全用离散频率表示。但如果只取若干主要频率分量，可以近似重建。

2.3.3 带噪信号示例

对于非周期且带噪声的信号，其频谱可能分布在一个较宽的频率范围内，用离散频率分量只能部分近似重建，且高频部分的误差可能较大。

2.4 常见的频谱逼近方法

对于非周期信号，如果希望用离散频率表示，可以考虑以下方法：

2.4.1 离散傅里叶变换 (DFT)

• 将连续信号采样为离散信号，并用有限频率点的频谱表示。
• 结果是信号的频谱在有限频率点上的离散近似。

2.4.2 窗口化处理

• 非周期信号可以通过时间窗口截断，使其近似为有限时长的周期信号。
• 截断后的信号频谱会接近于离散频率分量，但会引入频谱泄露。

2.4.3 带宽限制

• 对非周期信号施加低通滤波器，去掉高频分量。
• 带宽限制后，信号频谱能更好地用有限离散频率模拟。

2.5 总结

• 完全重建：只有周期信号能完全用基频及其整数倍频率表示。
• 近似重建：非周期信号可以用有限个离散频率分量进行近似，但无法完全重建。
• 对于非周期信号，用离散频率表示的精度取决于：
• 频率分量的数量。
• 信号的频谱带宽。